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广西2023年秋季学期高二八校第二次联考数学试卷答案

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15.(12分)如图甲所示,一质量为0.2kg的物块B与轻质弹簧连接,静止在光滑水平面上,物块A向右运动。已知t=0时A刚与弹簧接触,t1时弹簧压缩至最短,此过程A、B的v-t图像如图乙所示,弹簧始终处于弹性限度内。求(1)物块A的质量;(2)此过程中,弹簧弹性势能的最大值;(3)当弹簧恢复至原长的瞬间,物块A的速度。乙

分析（1）由f（x）=0进行求解即可；
（2）根据函数奇偶性的定义进行判断即可判断函数f（x）的奇偶性；
（3）根据函数单调性的定义结合指数函数单调性的性质即可得到结论．

解答解：（1）由f（x）=${a}^{x}-\frac{1}{{a}^{x}}$=0得a^x=$\frac{1}{{a}^{x}}$，即（a^x）²=1，则a^x=1，解得x=0，
即函数f（x）有零点，其中零点为0；
（2）函数的定义域为（-∞，+∞），
则f（x）=a^x-$\frac{1}{{a}^{x}}$=a^x-a^-x，
则f（-x）=a^-x-a^x=-（a^x-a^-x）=-f（x），
则函数f（x）为奇函数；
（3）a＞1时，函数f（x）为增函数，当0＜a＜1时，函数f（x）为减函数．
证明：设x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=${a}^{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{a}^{{x}_{1}}}$+-${a}^{{x}_{2}}$+$\frac{1}{{a}^{{x}_{2}}}$=（${a}^{{x}_{1}}$-${a}^{{x}_{2}}$）+$\frac{1}{{a}^{{x}_{2}}}$-$\frac{1}{{a}^{{x}_{1}}}$=（${a}^{{x}_{1}}$-${a}^{{x}_{2}}$）+$\frac{{a}^{{x}_{1}}-{a}^{{x}_{2}}}{{a}^{{x}_{1}}•{a}^{{x}_{2}}}$
=（${a}^{{x}_{1}}$-${a}^{{x}_{2}}$）（1+$\frac{1}{{a}^{{x}_{1}}•{a}^{{x}_{2}}}$），
若a＞1，∵x₁＜x₂，
∴${a}^{{x}_{1}}$＜${a}^{{x}_{2}}$，即${a}^{{x}_{1}}$-${a}^{{x}_{2}}$＜0，1+$\frac{1}{{a}^{{x}_{1}}•{a}^{{x}_{2}}}$＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
故f（x）在（-∞，+∞）上单调递增；
若0＜a＜1，∵x₁＜x₂，
∴${a}^{{x}_{1}}$＞${a}^{{x}_{2}}$，即${a}^{{x}_{1}}$-${a}^{{x}_{2}}$＞0，1+$\frac{1}{{a}^{{x}_{1}}•{a}^{{x}_{2}}}$＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），
故f（x）在（-∞，+∞）上单调递减．
即a＞1时，函数f（x）为增函数，当0＜a＜1时，函数f（x）为减函数．

点评本题主要考查函数零点的求解，函数奇偶性和单调性的判断和证明，利用函数奇偶性和单调性的定义是解决本题的关键．