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怀仁一中高一年级2023-2024学年上学期期中考试(241349D)数学试卷答案

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10.如图所示,质量为m的小球沿光滑曲面运动,曲面最大高度为H。以曲面顶端所在的水平面为重力势能的零势能面。现在A点给小球一个初动能,使其能够沿曲面经过高度为h的B点。在小球由A点到B点的过程中,下列说法正确的有A.小球的初动能至少为mghB.小球的重力势能最大值为;mgHC.重力对小球做功为-mghD.小球在B点处的重力势能为mg(h-H)

分析（Ⅰ）利用函数结果的点，以及函数的对称轴，列出方程组，求出二次函数的系数，即可求出函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求出函数的真数的范围，然后求解函数g（x）=log_b[f（x）+4]的值域．

解答解：（I）依题意二次函数f（x）=ax²+bx+c的图象过点（0，1）和（1，4），且对于任意x∈R，不等式f（x）≥4x恒成立．
得$\left\{\begin{array}{l}f（0）=c=1\\f（1）=a+b+c=4\\（b-4）^{2}-4ac≤0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=1\\b=2\\c=1\end{array}\right.$，∴f（x）=x²+2x+1…（6分）
（II）．由f（x）=x²+2x+1=（x+1）²，∴f（x）+4≥4…（8分）
∴g（x）=log₂[（x+1）²+4]≥log₂4=2．
∴g（x的）值域为：[2，+∞）…（12分）

点评本题考查二次函数的性质的应用，函数的解析式的求法，考查计算能力．