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山西省2023-2024学年上学期九年级第三次月考数学试卷答案

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20．过点A（0，-1）作直线l交抛物线y²=4x于B，C两点，求BC中点P的轨迹方程．

分析（1）由于tan$\frac{β}{2}$=$\frac{1}{2}$，可得sinβ=$2sin\frac{β}{2}cos\frac{β}{2}$=$\frac{2sin\frac{β}{2}cos\frac{β}{2}}{si{n}^{2}\frac{β}{2}+co{s}^{2}\frac{β}{2}}$=$\frac{2tan\frac{β}{2}}{1+ta{n}^{2}\frac{β}{2}}$．同理可得cosβ=$\frac{1-ta{n}^{2}\frac{β}{2}}{1+ta{n}^{2}\frac{β}{2}}$．
（2）∵$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=\frac{5}{13}$=cosαsinβ+sinαcosβ=$\frac{4}{5}$cosα+$\frac{3}{5}$sinα，又α∈（0，π），sin²α+cos²α=1，解出即可．

解答解：（1）∵tan$\frac{β}{2}$=$\frac{1}{2}$，∴sinβ=$2sin\frac{β}{2}cos\frac{β}{2}$=$\frac{2sin\frac{β}{2}cos\frac{β}{2}}{si{n}^{2}\frac{β}{2}+co{s}^{2}\frac{β}{2}}$=$\frac{2tan\frac{β}{2}}{1+ta{n}^{2}\frac{β}{2}}$=$\frac{2×\frac{1}{2}}{1+（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{4}{5}$．
同理可得cosβ=$\frac{1-ta{n}^{2}\frac{β}{2}}{1+ta{n}^{2}\frac{β}{2}}$=$\frac{1-（\frac{1}{2}）^{2}}{1+（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{3}{5}$．
（2）∵$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=\frac{5}{13}$=cosαsinβ+sinαcosβ=$\frac{4}{5}$cosα+$\frac{3}{5}$sinα，
又α∈（0，π），sin²α+cos²α=1，
化为7sin²α-150sinα+48=0，
解得sinα=$\frac{75-\sqrt{5289}}{7}$．

点评本题考查了三角函数求值、倍角公式、同角三角函数基本关系式、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．