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安徽金榜教育 2023-2024学年高二11月期中联考数学试卷答案

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13.(3分)为强化消防救援能力,战士们每天都要进行刻苦训练.如图所示,是战士爬杆训练的场景,战士在匀速直线向上爬升的过程中,他处于(选填“平衡”或“非平衡)状态,受到摩擦力的方向为,若他增大握力,受到的摩擦力将(选填“变大”“不变”或“变小”).

分析（1）对a与1的大小关系分类讨论即可解出．
（2）利用基本不等式的性质即可得出证明．

解答解； （1）当a＜1时，原不等式的解为a＜x＜1，解集为{x|a＜x＜1}，
当a=1时，原不等式无解，解集为∅．
当a＞1时，原不等式的解为1＜x＜a，解集为{x|1＜x＜a}．
所以综上所述：当a＜1时，原不等式的解集为{x|a＜x＜1}；
当a=1时，原不等式解集为∅；
当a＞1时，原不等式的解集为{x|1＜x＜a}．
（2）证明：∵x＞0，y＞0，
∴（x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$）=2+$\frac{x}{y}$+$\frac{y}{x}$≥2+2$\sqrt{\frac{x}{y}•\frac{y}{x}}$=4，当且仅当x=y＞0时取等号．
∴（x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$）≥4．

点评本题考查了一元二次不等式的解法、基本不等式的性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．