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2024年普通高等学校全国统一模拟招生考试新未来高三11月联考数学试卷答案

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2．已知抛物线C₁：y²=2px（p＞0）与直线x-y+1=0相切，椭圆C₂：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一个焦点与抛物线C₁的焦点F重合，且离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，点M（a²，0）．
（1）求抛物线C₁与椭圆C₂的方程；
（2）若在椭圆C₂上存在两点A，B使得$\overrightarrow{FA}$=λ$\overrightarrow{FB}$（λ∈[-2，-1]），求|$\overrightarrow{MA}$+$\overrightarrow{MB}$|的最小值．

分析由条件利用函数的单调性的性质可得$\left\{\begin{array}{l}{2a≥1}\\{0＜a＜1}\\{a-a≤2-8a+3}\end{array}\right.$，由此求得实数a的取值范围．

解答解：由于已知$f（x）=\left\{\begin{array}{l}2{x^2}-8ax+3，x＜1\\{a^x}-a，x≥1\end{array}\right.$是R上的单调递减函数，故有$\left\{\begin{array}{l}{2a≥1}\\{0＜a＜1}\\{a-a≤2-8a+3}\end{array}\right.$，
求得$\frac{1}{2}$≤a≤$\frac{5}{8}$，
故答案为：$[{\frac{1}{2}，\frac{5}{8}}]$．

点评本题主要考查函数的单调性的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．