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山东省潍坊市2023-2024学年高二上学期期中质量监测数学试卷答案

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19．数列{a_n}与{b_n}中，a₁=$\frac{3}{2}$，a_n•a_n+1-2a_n+1=0（n≥2），a_n•b_n-b_n=1．
（1）求证：数列{b_n}是等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

分析（Ⅰ）由题意$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，求解方程组可得a，b，c的值，则椭圆C的方程可求；
（Ⅱ）由题意可知，直线l的斜率存，设l：y=kx+m，联立直线方程和椭圆方程，利用根与系数的关系求得A，B的中点坐标，代入直线OP的方程求得k值，再由弦长公式求出
|AB|，再由点到直线的距离公式求出O到AB的距离，然后利用配方法求出使△OAB的面积最大时的m值，则直线l的方程可求．

解答解：（Ⅰ）由题意$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=8}\\{{b}^{2}=2}\end{array}\right.$．
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（Ⅱ）如图，
由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，
设l：y=kx+m，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-8=0．
再设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{8km}{1+4{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{m}^{2}-8}{1+4{k}^{2}}$，
y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2m=$k（-\frac{8km}{1+4{k}^{2}}）+2m$=$\frac{-8{k}^{2}m+2m+8{k}^{2}m}{1+4{k}^{2}}=\frac{2m}{1+4{k}^{2}}$．
∴AB的中点D为（-$\frac{4km}{1+4{k}^{2}}，\frac{m}{1+4{k}^{2}}$），
OP所在直线方程为y=$\frac{1}{2}x$，
∵线段AB的中点D在直线OP（O为坐标原点）上，
∴-$\frac{4km}{1+4{k}^{2}}=\frac{2m}{1+4{k}^{2}}$，即k=-$\frac{1}{2}$．
∴l：y=-$\frac{1}{2}$x+m．
则|AB|=$\frac{1}{2}$$\sqrt{5}\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$$\sqrt{16-4{m}^{2}}$=$\sqrt{5}\sqrt{4-{m}^{2}}$．
O到直线l的距离d=$\frac{2|m|}{\sqrt{5}}$．
∴${S}_{△AOB}=\frac{1}{2}$|AB|•d=$\sqrt{-{m}^{4}+4{m}^{2}}$．
∴当m²=2，（S_△OAB）_max=2．
此时直线l的方程为y=$-\frac{1}{2}$x$±\sqrt{2}$．

点评本题考查椭圆方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，涉及直线与圆锥曲线的位置关系问题，常采用联立直线方程与圆锥曲线方程，化为关于x的方程后，利用根与系数的关系求解，考查了计算能力，是中档题．