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安徽省2023-2024学年度七年级阶段诊断（三）数学试卷答案

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14．设满足以下两个条件的有穷数列a₁，a₂，…，a_n为n（n=2，3，4，…，）阶“期待数列”：
①a₁+a₂+a₃+…+a_n=0；
②|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=1．
（1）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；
（2）若某2013阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式；
（3）记n阶“期待数列”的前k项和为S_k（k=1，2，3，…，n），试证：|S_k|≤$\frac{1}{2}$．

分析不等式整理为lnx+$\frac{1}{x}$+2x³+3x²-12x＞-a²-a，只需求左式的最小值，构造函数m（x）=lnx+$\frac{1}{x}$+2x³+3x²-12x，利用导数求出函数的极小值即为函数的最小值．

解答解：f（x）＞g（x）恒成立，
∴lnx+$\frac{1}{x}$+a²+2x³+3x²-12x+a＞0，
∴lnx+$\frac{1}{x}$+2x³+3x²-12x＞-a²-a，
令m（x）=lnx+$\frac{1}{x}$+2x³+3x²-12x，
m'（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$+6x²+6x-12=$\frac{（x-1）[6{x}^{2}（x+1）+6x（x+1）+1]}{{x}^{2}}$，
当x∈（0，1）时，m'（x）＜0，m（x）递减，
当x∈（1，+∞）时，m'（x）＞0，m（x）递增，
∴m（x）≥m（1）=-6，
∴-6＞-a²-a，
∴a＞2或a＜-3，
故答案为a＞2或a＜-3．

点评考查了利用导函数判断函数的单调性，求出函数的最值和恒成立问题的转换．