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衡水名师卷 2024年高考模拟检测卷(一)1数学试卷答案

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10．已知数列{a_n}中a₁=2，a₂=1，a_n+2=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2{a}_{n+1}}{{a}_{n}}，{a}_{n+1}≥2}\\{\frac{4}{{a}_{n}}，{a}_{n+1}＜2}\end{array}\right.$（n∈N^*），S_n是数列{a_n}的前n项和，则S₂₀₁₅=5239．

分析由条件利用两角和差的正弦公式、同角三角函数的基本关系可得2tan²α•tanβ+tanβ-tanα=0，再根据△=1-8tan^2β≥0，求得tanβ的最小值．

解答解：∵sinαcos（α+β）=sinβ=sin[（α+β）-α]，
∴sinαcos（α+β）=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα，
化简可得tan（α+β）=2tanα，即$\frac{tanα+tanβ}{1-tanα•tanβ}$=2tanα，
∴2tan²α•tanβ-tanα+tanβ=0，
∴△=1-8tan²β≥0，
解得-$\frac{\sqrt{2}}{4}$≤tanβ≤$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∵β∈（$\frac{π}{2}$，π），∴-$\frac{\sqrt{2}}{4}$≤tanβ＜0，
故答案为：-$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

点评本题主要考查两角和差的正弦公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题．