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安徽省霍邱县2023-2024学年度七年级第一学期期中考试数学试卷答案

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15．在△ABC中，$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$，DE∥BC，且DE与AC相交于点E，M是BC的中点，AM与DE相交于点N，若$\overrightarrow{AN}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$（x，y∈R），则x+y等于（　　）

分析在△MF₁F₂中，运用正弦定理，结合条件可得$\frac{c}{a}$=$\frac{|M{F}_{1}|}{|M{F}_{2}|}$=$\frac{2a-|M{F}_{2}|}{|M{F}_{2}|}$，由a-c＜|MF₂|＜a+c，运用离心率公式和不等式的解法，即可得到所求范围．

解答解：在△MF₁F₂中，由正弦定理可得，
$\frac{|M{F}_{1}|}{sin∠M{F}_{2}{F}_{1}}$=$\frac{|M{F}_{2}|}{sin∠M{F}_{1}{F}_{2}}$，
又$\frac{a}{sin∠M{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{c}{sin∠M{F}_{2}{F}_{1}}$，
即有$\frac{c}{a}$=$\frac{|M{F}_{1}|}{|M{F}_{2}|}$=$\frac{2a-|M{F}_{2}|}{|M{F}_{2}|}$，
解得|MF₂|=$\frac{2{a}^{2}}{a+c}$，
由于a-c＜|MF₂|＜a+c，
即有（a-c）（a+c）＜2a²＜（a+c）²，
即为a²-c²＜2a²，显然成立；
又$\sqrt{2}$a＜a+c，即有c＞（$\sqrt{2}$-1）a，
则离心率e=$\frac{c}{a}$∈（$\sqrt{2}$-1，1）．
故选：D．

点评本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查椭圆的离心率的求法，同时考查三角形的正弦定理，以及运算能能力，属于中档题．