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安徽省2023-2024学年度第一学期期中综合素质调研（11月）数学试卷答案

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18．已知$\frac{{\sqrt{x}}}{3}+\frac{{\sqrt{y}}}{4}$=1，则xy的最大值是（　　）

分析由射影性质先求出M，再由点到直线距离公式求出点M到直线x-y=5的距离d，分m=0和m≠0，结合均值定理分别讨论d的取值，由此能求出点M到直线x-y=5的距离的最大值．

解答解：设点P（-1，0）在动直线mx+y+2-m=0（m∈R）上射影为M（a，b），
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b}{a+1}=\frac{1}{m}}\\{ma+b+2-m=0}\end{array}\right.$，解得a=$\frac{{m}^{2}-2m-1}{{m}^{2}+1}$，b=$\frac{2m-2}{{m}^{2}+1}$，
∴M（$\frac{{m}^{2}-2m-1}{{m}^{2}+1}$，$\frac{2m-2}{{m}^{2}+1}$），
∴点M到直线x-y=5的距离d=$\frac{|\frac{{m}^{2}-2m-1}{{m}^{2}+1}-\frac{2m-2}{{m}^{2}+1}-5|}{\sqrt{1+1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$•$\frac{4|{（m+\frac{1}{2}）}^{2}+\frac{3}{4}|}{{m}^{2}+1}$，
当m=0时，d=2$\sqrt{2}$，
当m≠0时，
d=2$\sqrt{2}$（1+$\frac{1}{|m|+\frac{1}{|m|}}$）$≤2\sqrt{2}$（1+$\frac{1}{2}$）=3$\sqrt{2}$．
∴点M到直线x-y=5的距离的最大值是3$\sqrt{2}$．
故答案为：3$\sqrt{2}$．

点评本题考查点到直线的距离的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线距离公式、均值定理的合理运用．