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陕西省2024届高三阶段性检测卷(三)3(24156C)数学试卷答案

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30.(8分)建筑工地的工人用如图所示的滑轮组来提升重物,已知重物G=900N,,不计绳重和摩擦,当绳子自由端的拉力F=400N时,可将重物匀速提升2m。在此过程中,(g=10N/kg)试求:(1)拉力F做的功;(2)滑轮组的机械效率;(3)若将该滑轮组的机械效率提高5%,需要用此滑轮组提升多重的重物?F

分析（1）将t=4代入函数解析式，对F（x）化简，得$f（x）={log_a}4（x+\frac{1}{x}+2）$，利用对勾函数在相应区间上的单调性求得其最值，需要对a进行讨论；
（2）将不等式转化，利用单调性，将不等式转化为x≤（2x+t-2）²，$\sqrt{x}-2x+2≤t$，转化为最值来处理即可求得结果．

解答解：（1）∵当t=4，$x∈[\frac{1}{4}，2]$时，
F（x）=g（x）-f（x）=$2{log_a}（2x+2）-{log_a}x={log_a}\frac{{4{{（x+1）}^2}}}{x}$=${log_a}4（x+\frac{1}{x}+2）$，
又h（x）=$4（x+\frac{1}{x}+2）$在$[\frac{1}{4}，1]$上为减函数，在[1，2]上为增函数，且$h（{\frac{1}{4}}）＞h（2）$，
∴$h{（x）_{min}}=h（1）=16，h{（x）_{max}}=h（{\frac{1}{4}}）=25$
∴当a＞1时，F（x）_min=log_a16，由log_a16=-2，解得$a=\frac{1}{4}$（舍去）；
当0＜a＜1时，F（x）_min=log_a25，由log_a25=-2解得$a=\frac{1}{5}$，
所以$a=\frac{1}{5}$
（2）f（x）≥g（x），即log_ax≥2log_a（2x+t-2），
∴log_ax≥log_a（2x+t-2）²，
∵$0＜a＜1，x∈[{\frac{1}{4}，2}]$，
∴x≤（2x+t-2）²，
∴$\sqrt{x}≤2x+t-2$，
∴$\sqrt{x}-2x+2≤t$，
∴$\sqrt{x}-2x+2≤t$，依题意有${（\sqrt{x}-2x+2）_{max}}≤t$
而函数$y=\sqrt{x}-2x+2=-2{（\sqrt{x}-\frac{1}{4}）^2}+\frac{17}{8}$
因为$x∈[{\frac{1}{4}，2}]，\sqrt{x}∈[{\frac{1}{2}，\sqrt{2}}]$，y_max=2，
所以t≥2．

点评本题考查的知识点是分类讨论的思想，恒成立问题的转化．熟练掌握对数函数，对勾函数的图象和性质，是解答的关键．