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山西省2023-2024学年九年级第一学期期中自主测评（11月）数学试卷答案

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5．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y²=1（a＞1）的左、上顶点分别为A、B，椭圆C的左焦点为F，且△ABF的面积为$\frac{2-\sqrt{3}}{2}$，则椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．

分析根据条件可以得出$\overrightarrow{EF}=\frac{1}{5}\overrightarrow{BC}，\overrightarrow{BE}=-\frac{4}{5}\overrightarrow{AB}$，将$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$带入，从而可以得到$\overrightarrow{BF}=-\frac{4}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{5}（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$，这样进行向量的数乘运算便可用$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$表示出$\overrightarrow{BF}$．

解答解：如图，∵$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{5}\overrightarrow{AB}$；

∴$\overrightarrow{EF}=\frac{1}{5}\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{BE}=\frac{4}{5}\overrightarrow{BA}$；
∴$\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{EF}=\frac{4}{5}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{5}\overrightarrow{BC}$=$-\frac{4}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{5}（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）=-\overrightarrow{a}+\frac{1}{5}\overrightarrow{b}$．

点评考查相似三角形对应边的比例关系，向量加法、减法，及数乘的几何意义，以及向量的数乘运算．