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山西思而行 2023-2024学年高二11月期中考试数学试卷答案

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17．已知函数f（x）=lnx+（x-b）²（b∈R）在区间$[{\frac{1}{2}，2}]$上存在单调递增区间，则实数b的取值范围是（　　）

分析去掉绝对值，化简曲线a|x|+b|y|=1，再化简不等式$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+2y+1}$+$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}-2y+1}$≤2$\sqrt{2}$，利用它的几何意义列出满足题意的不等式组，求出b与a的取值范围，即得a+$\sqrt{2}$b的取值范围．

解答解：由曲线a|x|+b|y|=1（a＞0，b＞0），
当x，y≥0时，化为ax+by=1；
当x≥0，y≤0时，化为ax-by=1；
当x≤0，y≥0时，化为-ax+by=1；
当x≤0，y≤0时，化为-ax-by=1；
画出图象，如图所示，其轨迹为四边形ABCD；
$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+2y+1}$+$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}-2y+1}$≤2$\sqrt{2}$，
变形为$\sqrt{{x}^{2}{+（y+1）}^{2}}$+$\sqrt{{x}^{2}{+（y-1）}^{2}}$≤2$\sqrt{2}$，
上式表示点M（0，1），N（0，-1）与该图象上的点P的距离之和≤2$\sqrt{2}$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{1+\frac{1}{{a}^{2}}}≤2\sqrt{2}}\\{\frac{2}{b}≤2\sqrt{2}}\end{array}\right.$，解得b≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$，a≥1；
∴a+$\sqrt{2}$b≥1+$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=2，
其取值范围是[2，+∞）．
故答案为：[2，+∞）．

点评本题考查了直线的方程、两点之间的距离公式应用、不等式的性质，考查了分类讨论思想方法、数形结合思想方法，考查了推理能力与计算能力，是综合性题目．