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天一大联考 2023-2024学年高中毕业班阶段性测试(三)数学试卷答案

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14.生活中吸盘挂钩的使用分三步操作,第一步:先将吸盘自然扣在墙面上,此时盘内气体体积为:第二步:按住锁扣把吸盘紧压在墙上(如图甲),吸盘中的空气被挤出一部分,松手稳定后,不再有气体从吸盘中逸出,剩余气体的压强为0.2P0、体积为0.4Va;第三步:将锁扣扳下(如图乙),让锁扣以盘盖为依托把吸盘向外拉出,能使吸盘内气体体积恢复到0.8V0.,三步完成后吸盘就会牢牢地被固定在墙壁上,假设气体可视为理想气体,忽略整个过程气体温度的变化,大气压为P,求:(1)第三步后吸盘内气体的压强;(2)第二步后吸盘中被挤出气体与原有气体的质量比值k,

分析（1）根据新定义，写出一个“合一函数”即可（答案不唯一）；
（2）根据f（x）的单调性以及f（x）是“合一函数”，得出$\left\{\begin{array}{l}{f（a）=a}\\{f（b）=b}\end{array}\right.$，利用方程与函数的关系，求出实数m的取值范围．

解答解：（1）根据题意，写出一个“合一函数”，如y=x，x∈[0，1]；
（或y=-x，x∈[-1，1]或y=x³，x∈[-1，1]或y=-x³或x∈[-1，1]，答案不唯一）；
（2）f（x）=$\sqrt{x+1}$+m是在[-1，+∞）的增函数，
由题意知，f（x）是“合一函数”时，存在区间[a，b]，
满足$\left\{\begin{array}{l}{f（a）=a}\\{f（b）=b}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{a+1}+m=a}\\{\sqrt{b+1}+m=b}\end{array}\right.$；
即a、b是方程$\sqrt{x+1}$+m=x的两个根，
化简得a，b是方程x²-（2m+1）x+m²-1=0的两个根，
且$\left\{\begin{array}{l}{a≥m}\\{b＞m}\end{array}\right.$；
令g（x）=x²-（2m+1）x+m²-1，
得$\left\{\begin{array}{l}{△＞0}\\{g（m）≥0}\\{\frac{2m+1}{2}＞m}\end{array}\right.$，
解得-$\frac{5}{4}$＜m≤-1，
所以实数m的取值范围是（-$\frac{5}{4}$，-1]．

点评本题考查了新定义的函数与方程的应用问题，也考查了构造函数的解题方法，转化为方程的根与函数图象与x轴交点的问题，是综合性题目．