[贵州大联考]贵州省2023-2024学年高一年级11月期中考试联考数学试题答案 (更新中)

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试题答案

[贵州大联考]贵州省2023-2024学年高一年级11月期中考试联考数学试卷答案

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[贵州大联考]贵州省2023-2024学年高一年级11月期中考试联考数学

6.如图甲所示,游乐场有一种叫作“快乐飞机”的游乐项目,模型如图乙所示。已知模型飞机质量为m,固定在长为L的旋臂上,旋臂与竖直方向夹角为45^,当模型飞机以角速度ω=2gL绕中央轴在水平面内做匀速圆周运动时,下列说法正确的是(不计空气阻力,重力加速度为g)A.模型飞机受到重力、旋臂的作用力和向心力B.旋臂对模型飞机的作用力方向不垂直于旋臂C.旋臂对模型飞机作用力大小为2mgD.若转动的角速度增大,则旋臂对模型飞机的作用力减小

分析(1)由PF1⊥PF2,|PF1|=$\frac{4}{3}$,|PF2|=$\frac{14}{3}$.可得2a=$\frac{4}{3}+\frac{14}{3}$=6,(2c)2=$(\frac{4}{3})^{2}$+$(\frac{14}{3})^{2}$,解得a,c2,b2=a2-c2.即可得出.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).直线方程与椭圆方程联立化为(28+81k2)x2+486kx+477=0,由$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$>1,可得(1+k2)x1x2+3k(x1+x2)+8>0,把根与系数的关系代入上式化简与△>0联立解出即可得出.

解答解:(1)∵PF1⊥PF2,|PF1|=$\frac{4}{3}$,|PF2|=$\frac{14}{3}$.
∴2a=$\frac{4}{3}+\frac{14}{3}$=6,(2c)2=$(\frac{4}{3})^{2}$+$(\frac{14}{3})^{2}$,解得a=3,c2=$\frac{53}{9}$,b2=a2-c2=$\frac{28}{9}$.
∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{9{y}^{2}}{28}$=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+3}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{9{y}^{2}}{28}=1}\end{array}\right.$,化为(28+81k2)x2+486kx+477=0,
△=(486k)2-4(28+81k2)×477>0,化为k2>$\frac{53}{81}$.
∴x1+x2=$\frac{-486k}{28+81{k}^{2}}$,x1x2=$\frac{477}{28+81{k}^{2}}$,
y1y2=(kx1+3)(kx2+3)=k2x1x2+3k(x1+x2)+9,
∵$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$>1,
∴x1x2+y1y2>1,
∴(1+k2)x1x2+3k(x1+x2)+8>0,
∴$\frac{477(1+{k}^{2})}{28+81{k}^{2}}$-$\frac{1458{k}^{2}}{28+81{k}^{2}}$+8>0,
化为:k2<$\frac{701}{333}$,
∴$\frac{53}{81}$<k2<$\frac{701}{333}$,
解得$\frac{\sqrt{53}}{9}$<k<$\frac{\sqrt{25937}}{111}$,或-$\frac{\sqrt{25937}}{111}$<k<-$\frac{\sqrt{53}}{9}$.
∴k的取值范围是:$\frac{\sqrt{53}}{9}$<k<$\frac{\sqrt{25937}}{111}$,或-$\frac{\sqrt{25937}}{111}$<k<-$\frac{\sqrt{53}}{9}$.

点评本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系及其△>0、向量的数量积运算性质,考查了推理能力与计算能力,属于难题.

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