江西省2025届八年级《学业测评》分段训练(二)数学试题答案 (更新中)

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试题答案

江西省2025届八年级《学业测评》分段训练(二)数学试卷答案

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17.一个梯形采用斜二测画法作出其直观图,则其直观图的面积是原来梯形面积的(  )

A.$\frac{\sqrt{2}}{4}$倍B.$\frac{1}{2}$倍C.$\frac{\sqrt{2}}{2}$倍D.$\sqrt{2}$倍

分析(1)设出直线方程,由直线和圆相切的条件:d=r,结合基本不等式,即可得到面积的最小值和此时直线的方程;
(2)讨论直线的斜率不存在和存在,设出直线方程为y=kx+m,代入椭圆方程,运用韦达定理和中点坐标公式,结合判别式大于0,化简整理即可得到所求范围.

解答解:(1)设直线l的方程为$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$=1(a,b>0),
由直线和圆x2+y2=4相切,可得$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\sqrt{2}$,
即有$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$=$\frac{1}{2}$≥$\frac{2}{ab}$,即ab≥4,
当且仅当a=b=2时,取得等号.
则△AOB面积S=$\frac{1}{2}$ab的最小值为2;
此时直线的方程为x+y-2=0;
(2)若直线的斜率不存在,设为x=t,
由直线和圆相切可得,t=-$\sqrt{2}$或$\sqrt{2}$.
代入椭圆方程可得,y=±$\sqrt{2}$,
可得中点M坐标为(-$\sqrt{2}$,0)或($\sqrt{2}$,0),|OM|=$\sqrt{2}$;
设直线l的方程为y=kx+m,代入椭圆方程可得,
(1+2k2)x2+4kmx+2m2-6=0,
△=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-6)>0,
即为m2<3+6k2
由直线和圆相切,可得$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{2}$,
即为m2=2+2k2,由2+2k2<3+6k2,可得k∈R,
设P,Q的坐标为(x1,y1),(x2,y2),
可得x1+x2=-$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$,中点M的坐标为(-$\frac{2km}{1+2{k}^{2}}$,$\frac{m}{1+2{k}^{2}}$),
即有|OM|=$\sqrt{(-\frac{2km}{1+2{k}^{2}})^{2}+(\frac{m}{1+2{k}^{2}})^{2}}$=$\frac{\sqrt{(1+4{k}^{2})(2+2{k}^{2})}}{1+2{k}^{2}}$
设1+2k2=t(t≥1),则|OM|=$\frac{\sqrt{(2t-1)(t+1)}}{t}$=$\sqrt{2+\frac{1}{t}-\frac{1}{{t}^{2}}}$
=$\sqrt{-(\frac{1}{t}-\frac{1}{2})^{2}+\frac{9}{4}}$,由t≥1可得t=2取得最大值$\frac{3}{2}$,
t=1时,取得最小值$\sqrt{2}$.
故|OM|的范围是[$\sqrt{2}$,$\frac{3}{2}$].

点评本题考查直线和圆相切的条件,直线和椭圆的位置关系,注意联立直线方程和椭圆方程,运用韦达定理和中点坐标公式,考查运算能力,属于中档题.

江西省2025届八年级《学业测评》分段训练(二)数学
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