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1号卷·A10联盟2025届高二上学期11月联考数学试卷答案

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16.(9分)某人站在水平地面上,手握不可伸长的轻绳一端,绳的另一端系有质量m=50.0g的小球,甩动手腕,使球在竖直平面内以手为圆心做圆周运动。已知握绳的手离地面高度d=1.6m,,手与球之间绳长l=0.5m,,绳能承受的最大拉力F=3.0N。,取重力加速度g=10m/s^2,,忽略手的运动半径和空气阻力。(1)当球某次运动到最低点时,绳恰好受到所能承受的最大拉力被拉断,求绳断时球的速度大小。(2)保持手的高度不变,改变绳长,使球重复上述运动,若绳仍在球运动到最低点时达到最大拉力被拉断,要使球的落地点距握绳的手的水平距离最大,绳长应是多少?最大水平距离是多少?(结果可以用根式表示)

分析（1）由条件利用同角三角函数基本关系式，两角和的余弦函数公式，倍角公式化简即可证明．
（2）由条件利用两角和差的正弦公式、同角三角函数的基本关系可得2tanβ•tan²α-tanα+tanβ=0，再根据△=1-8tan²β≥0，求得tanβ的最大值．

解答解：（1）证明：$\frac{sinβ}{sinα}$=cos（α+β），其中α，β为锐角．
⇒sinβ=sinα（cosαcosβ-sinαsinβ）
⇒sinβ（1-sin²α）=$\frac{1}{2}$sin2αcosβ
⇒tanβ=$\frac{sin2α}{2+2×\frac{1-cos2α}{2}}$=$\frac{sin2α}{3-cos2α}$．
得证．
（2）解：角α，β为锐角，且cos（α+β）sinα=sinβ=sin[（α+β）-α]，
∴cos（α+β）sinα=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα，
化简可得tan（α+β）=2tanα，即$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$=2tanα，
故有2tanβ•tan²α-tanα+tanβ=0，∴△=1-8tan²β≥0，
求得-$\frac{\sqrt{2}}{4}$≤tanβ≤$\frac{\sqrt{2}}{4}$，β为锐角，故0＜tanβ≤$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
故tanβ的最大值是：$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

点评本题主要考查两角和差的正弦公式，余弦函数公式，倍角公式，同角三角函数的基本关系的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．