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山西省2023-2024学年第一学期七年级期中质量评估试题（卷）数学试卷答案

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8.2023年4月17日消息,我国目前的电磁炮所发射的炮弹,已经可以在100公里距离上击穿80毫米厚的钢板。如图所示为电磁轨道炮的模型,间距L=1m的平行光滑导轨水平放置,轨道处于磁感应强度大小为B=1T、方向沿竖直方向的匀强磁场中,导轨左端接有电动势E=30V、内阻r=1Ω的电源,带有炮弹的导体棒垂直放置在导轨上,其质量(含炮弹)为m=100g、电阻为R=9Ω,导轨电阻不计,则下列说法正确的是

分析当n=1时，1+2¹+2²+2³+…+2^5n-1=31能被31整除，假设n=k时，1+2¹+2²+2³+…+2^5n-1 能被31整除，则则n=k+1时，1+2¹+2²+2³+…+2^3（k+1）-1也能被31整除，综合可得结论．

解答证明：当n=1时，1+2¹+2²+2³+…+2^5n-1=1+2¹+2²+2³+2⁴=2⁵-1=31能被31整除，
假设n=k时，1+2¹+2²+2³+…+2^5n-1 能被31整除，
不妨令1+2¹+2²+2³+…+2^5k-1=31a，a∈Z，
则n=k+1时，
1+2¹+2²+2³+…+2^3（k+1）-1
=1+2¹+2²+2³+…+2^5k-1+2^5k+2^5k+1+2^5k+2+2^5k+3+2^5k+4
=31a+2^5k+2^5k+1+2^5k+2+2^5k+3+2^5k+4
=31a+2^5k（1+2¹+2²+2³+2⁴）
=31a+31•2^5k也能被31整除，
综上所述n∈N，且n＞0时，1+2¹+2²+2³+…+2^3n-1 能被31整除．

点评本题考查的知识点是数学归纳法，熟练掌握数学归纳的证明步骤是解答的关键．