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［吉林大联考］吉林省2023-2024学年高二年级11月期中考试联考数学试卷答案

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10.如图所示,质量为m的为m的摩托艇静止在水面上,作用下开始沿直线运动,其加速度a随速度ν的变化规律如图所示。已知摩托艇受到的阻力与运动速度成正比,即f=kv(k为常数,大小未知)。则A.摩托艇从开始运动到速度最大的过程所用时间为v0a0B.常数k的大小为ma0v0C.牵引力的最大功率为D.摩托艇从开始运动到速度最大过程中,牵引力对摩托艇做的功为ma0v012mv0^2

分析（1）数列$-\frac{1}{2}$，0，$\frac{1}{2}$为三阶期待数列，数列$-\frac{3}{8}$，-$\frac{1}{8}$，$\frac{1}{8}$，$\frac{3}{8}$为四阶期待数列．
（Ⅱ）设该2013阶“期待数列”的公差为d，由于a₁+a₂+…+a₂₀₁₃=0，可得a₁₀₀₇=0，a₁₀₀₈=d，对d分类讨论，利用等差数列的通项公式即可得出．
（Ⅲ）当k=n时，显然|S_n|=0$≤\frac{1}{2}$成立；当k＜n时，根据条件①得：S_k=a₁+a₂+…+a_k=-（a_k+1+a_k+2+…+a_n），即|S_k|=|a₁+a₂+…+a_k|=|a_k+1+a_k+2+…+a_n|，再利用绝对值不等式的性质即可得出．

解答解：（1）数列$-\frac{1}{2}$，0，$\frac{1}{2}$为三阶期待数列，
数列$-\frac{3}{8}$，-$\frac{1}{8}$，$\frac{1}{8}$，$\frac{3}{8}$为四阶期待数列．
（Ⅱ）设该2013阶“期待数列”的公差为d，
∵a₁+a₂+…+a₂₀₁₃=0，∴$\frac{2013（{a}_{1}+{a}_{2013}）}{2}$=0，
∴a₁+a₂₀₁₃=0，即a₁₀₀₇=0，
∴a₁₀₀₈=d，
当d=0时，与期待数列的条件①②矛盾，
当d＞0时，据期待数列的条件①②可得a₁₀₀₈+a₁₀₀₉+…+a₂₀₁₃=$\frac{1}{2}$，
∴1006d+$\frac{1006×1005}{2}$d=$\frac{1}{2}$，即d=$\frac{1}{1006×1007}$，
∴a_n=a₁₀₀₇+（n-1007）d=$\frac{n-1007}{1006×1007}$（n∈N^*，n≤2013），
当d＜0时，同理可得a_n=$\frac{-n+1007}{1006×1007}$，（n∈N^*，n≤2013）．
（Ⅲ）当k=n时，显然|S_n|=0$≤\frac{1}{2}$成立；
当k＜n时，根据条件①得：S_k=a₁+a₂+…+a_k=-（a_k+1+a_k+2+…+a_n），
即|S_k|=|a₁+a₂+…+a_k|=|a_k+1+a_k+2+…+a_n|，
∴2|S_k|=|a₁+a₂+…+a_k|+|a_k+1+a_k+2+…+a_n|≤|a₁|+|a₂|+…+|a_k|+|a_k+1|+…+|a_n|=1，
∴|S_k|$≤\frac{1}{2}$（k=1，2，…，n）．

点评本题考查了等差数列的通项公式及其性质、绝对值不等式的性质、新定义“期待数列”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．