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吉林省2023~2024学年第一学期高一期中考试(24191A)数学试卷答案

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10.蚯蚓分解处理技术可实现固体废物的减量化和资源化。下图为某农业生态系统的示意图,下列叙述不正确的是饲动物蛋百螺分解处理技术衣林有机肥蚓黄、残A.该生态系统中的各种微生物不一定都属于分解者B.该生态工程设计突出体现了循环原理C.农作物、果树等植物获取的物质和能量主要来自有机肥D.影响蚯蚓分解处理效率的因素有温度,含水量等

分析原不等式可等价为：arctana-a≤arctanb-b，只需构造函数f（x）=arctanx-x，再运用函数的单调性证明不等式．

解答证明：∵正切函数y=tanx在（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）上单调递增，
∴其反函数y=arctanx在R上也单调递增，
不妨设，a≥b，原不等式可化为：arctana-arctanb≤a-b，
因此，原不等式等价为：arctana-a≤arctanb-b，-----①
要证不等式①成立，只需构造函数，f（x）=arctanx-x，x∈R，
f'（x）=$\frac{1}{1+x^2}$-1=-$\frac{x^2}{1+x^2}$≤0恒成立，
所以，f（x）在R上单调递减，
由于a≥b，所以f（a）≤f（b），
即arctana-a≤arctanb-b，
所以，|arctana-arctanb|≤|a-b|．
说明：本题也可以利用“拉格朗日中值定理”证明．

点评本题主要考查了运用导数证明不等式，涉及正切，反正切函数的性质，导数的运算，以及函数单调性的确定，属于中档题．