2022年江西省高二10月联考(23-42B)数学试题答案(更新中)

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试题答案

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15.求与椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1有共同焦点,过点(3$\sqrt{2}$,$\sqrt{2}$)的双曲线的标准方程.

分析设正方形ABCD对角线AC所在的直线方程为y=kx,则其斜率唯一确定,转化为二元方程只有唯一实数根,利用根的判别式求解即可.

解答解:设正方形ABCD对角线AC所在的直线方程为y=kx(k≠0),
则对角线BD所在的直线方程为y=-$\frac{1}{k}$x.
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{y={x}^{3}+mx}\end{array}\right.$,解得x2=k-m,
所以AO2=x2+y2=(1+k2)x2=(1+k2)•(k-m),
同理,BO2=[1+(-$\frac{1}{k}$)2]•(-$\frac{1}{k}$-m)=-$\frac{1+{k}^{2}}{{k}^{2}}$•($\frac{1}{k}$+m),
又因为AO2=BO2,所以k3-k2m+$\frac{1}{k}$+m=0.
即k2+$\frac{1}{{k}^{2}}$-m(k-$\frac{1}{k}$)=0,即(k-$\frac{1}{k}$)2-m(k-$\frac{1}{k}$)+2=0.
令k-$\frac{1}{k}$=t得t2-mt+2=0
因为正方形ABCD唯一确定,则对角线AC与BD唯一确定,
于是k-$\frac{1}{k}$值唯一确定,
所以关于t的方程t2-mt+2=0有且只有一个实数根,
又k-$\frac{1}{k}$=t∈R.
所以△=m2-8=0,即m=±2$\sqrt{2}$.
因为x2=k-m>0,所以m<k;
又-$\frac{1}{k}$-m>0,所以m<-$\frac{1}{k}$,故m<0.
因此m=-2$\sqrt{2}$;
反过来m=-2$\sqrt{2}$时,t=-$\sqrt{2}$,k-$\frac{1}{k}$=-$\sqrt{2}$,
于是k=$\frac{-\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$,-$\frac{1}{k}$=$\frac{-\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$;
或k=$\frac{-\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$,-$\frac{1}{k}$=$\frac{-\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$.
于是正方形ABCD唯一确定.
故答案为:-2$\sqrt{2}$.

点评本题主要考查函数的解析式的求法以及导数,单调性,不等式等基础知识,考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力.

2022年江西省高二10月联考(23-42B)数学
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