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2023年湖南新高考教学教研联盟高一5月联考数学试卷答案

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20．设函数f（x）=|x+2|+|x-2|，x∈R，不等式f（x）≤6的解集为M．
（1）求M；
（2）当a，b∈M时，证明：3|a+b|≤|ab+9|．

分析由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．

解答解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x+y≥2}\\{2x-y≤4}\\{x-y≥0}\end{array}\right.$作出可行域如图，

化目标函数z=x+2y为$y=-\frac{x}{2}+\frac{z}{2}$．
由图可知，当直线$y=-\frac{x}{2}+\frac{z}{2}$过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为2
故答案为：2．

点评本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．