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2022-2023学年辽宁省高一5月联考（23-451A）数学试卷答案

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8．已知数列{a_n}中，a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$（n∈N^*）．
（I）证明数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}为等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）已知数列{b_n}的前n项和为S_n，且对任意正整数n，都有（1+$\frac{{b}_{n}}{{{a}^{2}}_{n}}$）•n=$\frac{5{n}^{2}+10n+9}{4n+4}$成立，证明：$\frac{1}{2}$≤S_n＜1．

分析对于A，可举x=$\frac{π}{3}$∈（0，π），检验不等式即可判断；对于B，构造t=x²（t＞0），f（t）=e^t-1-t，运用导数判断单调性即可得到；对于C，令f（x）=sinx+tanx-2x（0＜x＜π），求出导数，判断单调性，即可得到结论；对于D，lnx+e^x＞x$-\frac{1}{x}$+2，即为lnx+$\frac{1}{x}$＞x+2-e^x，（x＞0），设f（x）=lnx+$\frac{1}{x}$，g（x）=x+2-e^x，分别求出导数，判断单调性，求得最值，即可判断．

解答解：对于A，可举x=$\frac{π}{3}$∈（0，π），可得（x+1）cosx=（1+$\frac{π}{3}$）×$\frac{1}{2}$＞1，即有A不恒成立；
对于B，可令t=x²（t＞0），由f（t）=e^t-1-t的导数为f′（t）=e^t-1＞0，即为f（t）在t＞0递增，
即有f（t）＞f（0）=0，则原不等式恒成立；
对于C，令f（x）=sinx+tanx-2x（0＜x＜π），f′（x）=cosx+sec²x-2=cosx+$\frac{1}{co{s}^{2}x}$-2，
设t=cosx（0＜t＜1），则g（t）=t+t^-2-2，g′（t）=1-2t^-3＜0，g（t）在（0，1）递减，即有g（t）＞g（1）=0，
则f（x）＞0恒成立；
对于D，lnx+e^x＞x$-\frac{1}{x}$+2，即为lnx+$\frac{1}{x}$＞x+2-e^x，（x＞0），
设f（x）=lnx+$\frac{1}{x}$，g（x）=x+2-e^x，f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$，
当x＞1时，f（x）递增，0＜x＜1时，f（x）递减，
即有x=1处f（x）取得最小值1；g（x）的导数为g′（x）=1-e^x，
当x＞0时，g′（x）＜0，即有g（x）＜1，故原不等式恒成立．
故选：A．

点评本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用构造函数，运用导数判断单调性求得最值，考查运算能力，属于中档题．