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2023年湖南新高考教学教研联盟高二5月联考数学试卷答案

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19．已知函数f（x）=$\frac{x}{1+|x|}$（x∈R） 时，则下列结论正确的是（　　）
（1）?x∈R，等式f（-x）+f（x）=0恒成立
（2）?m∈（0，1），使得方程|f（x）|=m有两个不等实数根
（3）?x₁，x₂∈R，若x₁≠x₂，则一定有f（x₁）≠f（x₂）
（4）?k∈（1，+∞），使得函数g（x）=f（x）-kx在R上有三个零点．

分析（Ⅰ）利用正弦定理，结合和角的正弦公式，即可得出结论．
（Ⅱ）由已知及余弦定理可得：b²+c²=3+bc，结合基本不等式可得3≥bc，即可得解．

解答解：（Ⅰ）由$\frac{2b-c}{a}=\frac{cosC}{cosA}$，
利用正弦定理可得2sinBcosA-sinCcosA=sinAcosC，
化为2sinBcosA=sin（C+A）=sinB，
∵sinB≠0，
∴cosA=$\frac{1}{2}$，
∵A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）∵a=$\sqrt{3}$，
∴由余弦定理可得：3=b²+c²-2bccosA=3=b²+c²-bc，可得：b²+c²=3+bc，
又∵b²+c²≥2bc，可得3+bc≥2bc，解得：3≥bc，
∴b²+c²=3+bc≤3+3=6，即b²+c²的最大值是6．

点评本题考查正弦定理，和角的正弦公式，余弦定理，基本不等式的综合应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．