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【益卷】2023年陕西省初中学业水平考试全真模拟卷（八）数学试卷答案

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14．已知数列{a_n}满足${a_{n+1}}=\frac{4}{{4-{a_n}}}（n∈{N^*}），{a_1}=0$，记数列{a_n}的前n项和为S_n，c_n=S_n-2n+2ln（n+1）
（1）令${b_n}=\frac{2}{{2-{a_n}}}$，证明：对任意正整数n，|sin（b_nθ）|≤b_n|sinθ|
（2）证明数列{c_n}是递减数列．

分析（Ⅰ）由已知中二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）的图象过点（0，1），且有唯一的零点-1．构造关于a，b，c的方程组，可得f（x）的表达式；  
（Ⅱ）F（x）=x²-5x+1，对称轴为x=$\frac{5}{2}$，图象开口向上，F（x）在[-2，2]上单调递减，即可求出其最小值．

解答解：（Ⅰ）依题意得c=1，-$\frac{b}{2a}$=-1，b²-4ac=0
解得a=1，b=2，c=1，
从而f（x）=x²+2x+1；  …（3分）
（Ⅱ）F（x）=x²-5x+1，对称轴为x=$\frac{5}{2}$，图象开口向上
∴F（x）在[-2，2]上单调递减，
此时函数F（x）的最小值F（2）=-5    …（10分）

点评本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，求函数的解析式，函数的最值，是二次函数图象和性质的综合考查，难度中档．