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2023年银川一中、昆明一中高三联合考试二模(5月)数学试卷答案

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15．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）过点A（-3，2），且离心率e=$\sqrt{5}$，如果B、C为双曲线上的动点，直线AB与直线AC的斜率互为相反数，则直线BC的斜率为6．

分析（1）利用分段函数的两段都取到x=0，列方程求出c；（2）利用复合函数的意义，求出f[f（-1）]的值，分段求单调增区间；（3）对a进行讨论．

解答解：（1）因为两段都取到x=0，所以当x=0时的函数值相等，即2⁰=c，因此c=1
（2）因为a=1，所以$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}（x≤0）}\\{{x}^{2}-2x+1（x≥0）}\end{array}\right.$，所以$f[f（-1）]=f[\frac{1}{2}]=\frac{1}{4}$
由解析式可知：f（x）的增区间是（-∞，0）和（1，+∞）
（3）由解析式$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}（x≤0）}\\{a{x}^{2}-（a+1）x+1（x≥0）}\end{array}\right.$知：
当x≤0时：函数没有零点
当x≥0时：f（x）=（ax-1）（x-1），此时函数一定有一个零点x=1
令h（x）=ax-1，则函数h（x）要么没有零点，要么有且只有一个零点x=1，而：
当a=0时，此函数没有零点，符合题意
当a＜0时，此函数没有零点，符合题意
当a＞0时，若a=1，此函数有且只有一个零点x=1，符合题意；其它取值都有不等于1的根，不符合题意
所以：当a∈（-∞，0]∪{1}时，函数f（x）有且只有一个零点

点评本题主要考查分段函数的函数值、单调性和零点的问题，关键是分类讨论思想，属于中等题．