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广西国品文化-桂柳金卷 2023年普通高等学校招生全国统一考试(仿真卷)数学试卷答案

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17．设D是△ABC中BC边上的中点，过D作一条直线分别交直线AB、AC于点M、N，设$\overrightarrow{AM}$=m$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AN}$=n$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{b}$，且m＞0，n＞0．
（1）分别用向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$表示向量$\overrightarrow{MD}$与$\overrightarrow{MN}$；
（2）试探究：$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$是否为定值．

分析（1）由已知ρ²=ρ（4cosθ+2sinθ）=4ρcosθ+2ρsinθ，利用ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y，能求出曲线C的直角坐标方程及它表示的曲线．
（2）由已知得直线l过定点（2，1），也就是过圆（x-2）²+（y-1）²=5的圆心，由此能证明|PQ|为定值．

解答解：（1）∵ρ=4cos θ+2sin θ，
∴ρ²=ρ（4cos θ+2sin θ）=4ρcos θ+2ρsin θ，
由ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y，得x²+y²=4x+2y，
∴曲线C的直角坐标方程为（x-2）²+（y-1）²=5，
它表示以（2，1）为圆心，$\sqrt{5}$为半径的圆．（5分）
证明：（2）∵直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=1+tsinα}\end{array}\right.$，（t为参数），
∴直线l过定点（2，1），也就是过圆（x-2）²+（y-1）²=5的圆心，
∴|PQ|=2$\sqrt{5}$，为定值．

点评本题考查曲线的直角坐标方程的求法，考查线段为定值的证明，解题时要认真审题，注意极坐标方程、参数方程、直角坐标方程转化公式的合理运用．