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[毕节三诊]贵州省毕节市2023届高三年级诊断性考试(三)3数学试卷答案

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16．在△ABC中，∠C=90°，两直角边和斜边a，b，c满足条件a+b=cx，则x的取值范围是（1，$\sqrt{2}$]．

分析令t=tanx∈R．f（t）=$\frac{t}{1+{t}^{2}}$，当t=0时，f（0）=0；对于t分类讨论，利用基本不等式的性质即可得出．

解答解：令t=tanx∈R．
∴f（t）=$\frac{t}{1+{t}^{2}}$，
当t=0时，f（0）=0；
当t＞0时，0＜f（t）=$\frac{1}{t+\frac{1}{t}}$$≤\frac{1}{2}$，当且仅当t=1时取等号．
同理可得：t＜0时，0＞f（t）≥$-\frac{1}{2}$
综上可得：f（t）∈$[-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}]$．
∴函数y=$\frac{tanx}{1+ta{n}^{2}x}$的值域是$[-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}]$．

点评本题考查了基本不等式的性质、“换元法”、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．