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江西省2023年初中学业水平考试（八）数学试卷答案

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12．已知椭圆C的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，A，B分别为左、右顶点，F₂为其右焦点，P是椭圆C上异于A，B的动点，且$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的最小值为-2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过左焦点F₁的直线交椭圆于M，N两点，求$\overrightarrow{{F}_{2}M}$•$\overrightarrow{{F}_{2}N}$的取值范围．

分析根据充要条件的定义，判断分析四个答案中两个条件的充要性，可得结论．

解答解：φ=$\frac{π}{4}$时，f（x）=3in（x-$\frac{π}{2}$）=3cosx的图象关于y轴对称，
f（x）=3in（x-2φ）的图象关于y轴对称时，2φ=$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z，φ=$\frac{π}{4}$+$\frac{1}{2}$kπ，k∈Z，
故φ=$\frac{π}{4}$是f（x）=3in（x-2φ）的图象关于y轴对称的充分不必要条件，故A正确；
|$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|的充要条件是$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$方向相同且|$\overrightarrow{a}$|≥|$\overrightarrow{b}$|，故B错误；
a，b，c都为实数，b=$\sqrt{ac}$=0时，a，b，c三数不成等比数列，
a，b，c三数成等比数列时，b=$\sqrt{ac}$≠0，或b=-$\sqrt{ac}$≠0，
故b=$\sqrt{ac}$是a，b，c三数成等比数列的即不充分不必要条件，故C错误；
m=3时，直线（m+3）x+my-2=0与mx-6y+5=0互相垂直，
直线（m+3）x+my-2=0与mx-6y+5=0互相垂直时，m=3或m=0，
故m=3是直线（m+3）x+my-2=0与mx-6y+5=0互相垂直的充分不必要条件，故D错误；
故选：A

点评本题考查的知识点是充要条件的定义，三角函数的对称性，向量的基本概念，等比数列，直线垂直的充要条件，难度中档．