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2023年重庆大联考高三年级5月联考（578C·C QING）数学试卷答案

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7．求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的双曲线方程：
（1）双曲线过点（3，9$\sqrt{2}$），离心率e=$\frac{\sqrt{10}}{3}$；
（2）双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为（$\sqrt{3}$，0）；
（3）与双曲线x²-2y²=2有共同的渐近线，且经过点（2，-2）；
（4）过点P（2，-1），渐近线方程是y=±3x．

分析构造函数F（t）=2^-t-lnt，t∈（0，+∞），根据该函数的单调性证明不等式．

解答证明：将不等式2^-x-2^y＞lnx-1n（-y）化为：
2^-x-lnx＞2^y-ln（-y），---------①
构造函数F（t）=2^-t-lnt，t∈（0，+∞），
显然，F（t）为定义域上的减函数，
因为x＞0，y＜0，所以，-y＞0，
故F（x）=2^-x-lnx，F（-y）=2^y-ln（-y），
由①式得，F（x）＞F（-y），
且F（t）为定义域上的减函数，
因此，x＜-y，
即x+y＜0，证毕．

点评本题主要考查了运用函数的单调性证明不等式，涉及指数函数，对数函数的单调性和构造法，体现了函数的思想，属于中档题．