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湖南省2023届高三全真模拟适应性考试数学试卷答案

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4．双曲线$\frac{{y}^{2}}{16}$-$\frac{{x}^{2}}{m}$=1的离心率e=2，则双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$x．

分析根据条件先求得f（x）的解析式f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{0，x∈（-1，1）}\\{-x，x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）}\end{array}\right.$，再进行分类迭代求得f（f（x））的解析式．

解答解：因为$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{x}^{n+1}}{1-x^n}$存在，所以x≠±1，
①当|x|＜1时，$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{x}^{n+1}}{1-x^n}$=$\frac{0}{1-0}$=0；
②当|x|＞1时，$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{x}^{n+1}}{1-x^n}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{x}{\frac{1}{x^n}-1}$=$\frac{x}{0-1}$=-x（极限存在），
即f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{0，x∈（-1，1）}\\{-x，x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）}\end{array}\right.$，
因此，f（f（x））的解析式需分类讨论如下：
当x∈（-1，1）时，f（f（x））=f（0）=0，
当x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）时，f（f（x））=f（-x）=x，
所以，y=f（f（x））=$\left\{\begin{array}{l}{0，x∈（-1，1）}\\{x，x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）}\end{array}\right.$．
故答案为：$\left\{\begin{array}{l}{0，x∈（-1，1）}\\{x，x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）}\end{array}\right.$．

点评本题主要考查了极限的运算，以及分段函数与复合函数解析式的求解，属于中档题．