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安徽鼎尖教育2023届高三5月联考数学试卷答案

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6．已知log₂3=a，log₃5=b，求log₁₅20．

分析（1）利用正弦定理化简已知的等式，根据B为三角形的内角，得到sinB不为0，在等式两边同时除以sinB，得到sinA的值，然后再由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可得到A的度数．
（2）由正弦定理可求得sinC的值，由C∈（0，180°），可得C，从而可求B，利用三角形面积公式即可得解．

解答（本小题满分12分）
解：（1）解：根据正弦定理化简b=2asinB得：sinB=2sinAsinB，
∵sinB≠0，在等式两边同时除以sinB得sinA=$\frac{1}{2}$，
又A为三角形的内角，
则A=30°或150°．
∵b＞a，A为锐角，
∴A=30°．
（2）∵由正弦定理可得：sinC=$\frac{csinA}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}×\frac{1}{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴由C∈（0，180°），可得：C=60°或120°，
∴B=180°-A-C=90°或30°（b＞a，故舍去），即sinB=1．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}×1$=2$\sqrt{3}$．

点评此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，同时在求值时注意三角形内角的范围．