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江西省2023年初中学业水平练习（三）数学试卷答案

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12．已知椭圆C的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，A，B分别为左、右顶点，F₂为其右焦点，P是椭圆C上异于A，B的动点，且$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的最小值为-2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过左焦点F₁的直线交椭圆于M，N两点，求$\overrightarrow{{F}_{2}M}$•$\overrightarrow{{F}_{2}N}$的取值范围．

分析利用双曲线的定义，结合|PF₁|•|PF₂|=55，求点P到焦点的距离．

解答解：∵双曲线$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1，
∴a=3，
设|PF₁|＞|PF₂|，
则|PF₁|-|PF₂|=6，
∵|PF₁|•|PF₂|=55，
∴|PF₁|=11，|PF₂|=5．

点评本题考查点P到焦点的距离的求法，解题时要熟练掌握双曲线的定义，比较基础．