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[雅安三诊]2023届雅安市高2020级第三次诊断性考试数学试卷答案

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9．已知函数$f（x）={（\frac{1}{3}）^x}，x∈[{-1，1}]$，函数g（x）=f²（x）-2af（x）+3
（1）若a=1，证明：函数g（x）在区间[-1，0]上为减函数；
（2）求g（x）的最小值h（a）

分析（1）利用tanθ=$\frac{y}{x}$，θ=$\frac{π}{6}$（ρ≥0），即可得出C₁的直角坐标方程．利用$\left\{\begin{array}{l}x=ρcosθ\\y=ρsinθ\end{array}$，即可得出C₂的直角坐标方程．
（2）联立$\left\{\begin{array}{l}{θ=\frac{π}{6}，ρ≥0}\\{{ρ}^{2}-2{x}_{0}ρcosθ+{{x}_{0}}^{2}-4=0，{x}_{0}∈R}\end{array}\right.$，由于关于ρ的一元二次方程ρ²-$\sqrt{3}$x₀ρ+x₀²-4=0（x₀∈R）在[0，+∞）内有两个实根．可得$\left\{\begin{array}{l}{△=3{x}_{0}^{2}-4（{x}_{0}^{2}-4）＞0}\\{{ρ}_{1}+{ρ}_{2}=\sqrt{3}{x}_{0}＞0}\\{{ρ}_{1}{ρ}_{2}≥0}\end{array}\right.$，解出即可得出．

解答解：（1）∵tan θ=$\frac{y}{x}$，θ=$\frac{π}{6}$（ρ≥0），∴y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x（x≥0）．
∴C₁的直角坐标方程为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x（x≥0）．
∵$\left\{\begin{array}{l}x=ρcosθ\\y=ρsinθ\end{array}$，∴C₂的直角坐标方程x²+y²-2x₀x+x₀²-4=0．
（2）联立$\left\{\begin{array}{l}{θ=\frac{π}{6}，ρ≥0}\\{{ρ}^{2}-2{x}_{0}ρcosθ+{{x}_{0}}^{2}-4=0，{x}_{0}∈R}\end{array}\right.$
关于ρ的一元二次方程ρ²-$\sqrt{3}$x₀ρ+x₀²-4=0（x₀∈R）在[0，+∞）内有两个实根．
即$\left\{\begin{array}{l}{△=3{x}_{0}^{2}-4（{x}_{0}^{2}-4）＞0}\\{{ρ}_{1}+{ρ}_{2}=\sqrt{3}{x}_{0}＞0}\\{{ρ}_{1}{ρ}_{2}≥0}\end{array}\right.$，
得$\left\{\begin{array}{l}{-4＜{x}_{0}＜4}\\{{x}_{0}＞2}\\{{x}_{0}≥2或{x}_{0}≤-2}\end{array}\right.$，
解得2≤x₀＜4．

点评本题考查了极坐标化为直角坐标方程的方法、曲线的交点坐标、极坐标方程的应用、一元二次方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．