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2022-2023学年辽宁省高一考试4月联考(23-442A)数学试卷答案

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13．椭圆C₁的中心在坐标原点，两焦点分别为双曲线C₂：$\frac{{x}^{2}}{2}$-y²=1的顶点，直x+$\sqrt{2}$y=0与椭圆C₁交于A、B两点，且点A的坐标为（-$\sqrt{2}$，1），点P是椭圆C₁上异于点A，B的任意一点．
（1）求椭圆C₁的标准方程；
（2）求△ABP面积的最大值及此时点P的坐标．

分析根据绝对值的性质把函数表示为分段函数形式，结合一元二次函数的图象和性质进行讨论即可．

解答解：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x（x-a），}&{x≥a}\\{x（a-x），}&{x＜a}\end{array}\right.$，
若a≤0，则f（x）对应的图象为（1），此时函数在0≤x≤1上为增函数，则此时的最大值为f（x）_max=g（a）=g（1）=|1-a|=1-a，
当0＜a＜1时，f（$\frac{a}{2}$）=$\frac{a}{2}$•|$\frac{a}{2}$-a|=$\frac{a}{2}$•|$\frac{a}{2}$|=$\frac{{a}^{2}}{4}$，f（1）=1-a，
则f（$\frac{a}{2}$）-f（1）=$\frac{{a}^{2}}{4}$+a-1=$\frac{{a}^{2}+4a-4}{4}$，
①当a²+4a-4＞0时，解得a＞-2+2$\sqrt{2}$或a＜-2-2$\sqrt{2}$，
即-2+2$\sqrt{2}$＜a＜1时，f（$\frac{a}{2}$）-f（1）＞0，
则f（$\frac{a}{2}$）＞f（1），此时最大值为值g（a）=f（$\frac{a}{2}$）=$\frac{{a}^{2}}{4}$，
②当a²+4a-4=0时，解得a=-2+2$\sqrt{2}$或a=-2-2$\sqrt{2}$（舍），
即a=-2+2$\sqrt{2}$时，f（$\frac{a}{2}$）-f（1）=0，
则f（$\frac{a}{2}$）=f（1），此时最大值为值g（a）=f（$\frac{a}{2}$）=$\frac{{a}^{2}}{4}$=1-a；
③当a²+4a-4＜0时，解得-2-2$\sqrt{2}$＜a＜-2+2$\sqrt{2}$，
即0＜a＜-2+2$\sqrt{2}$时，f（$\frac{a}{2}$）-f（1）＜0，
则f（$\frac{a}{2}$）＜f（1），此时最大值为值g（a）=f（1）=1-a．

点评本题主要考查函数的最值的求解，利用绝对值的性质将不等式转化为一元二次函数，利用一元二次函数的性质进行求解是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．