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湖南天壹名校联盟2023届高三5月大联考数学试卷答案

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4．已知cosx+cosy=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求sinx+siny的取值范围．

分析先构造函数f（x）=x-sinx，x∈[0，+∞），根据函数性质得出结论：sinx≤x对任意x∈[0，+∞）恒成立，再判断该数列单调递减．

解答解：先构造函数f（x）=x-sinx，x∈[0，+∞），
f'（x）=1-cosx≥0对任意x∈[0，+∞）恒成立，
所以，f（x）单调递增，且f（0）=0，
因此，当x≥0时，f（x）≥0，
所以，sinx≤x对任意x∈[0，+∞）恒成立，仅当x=0时，取“=”．
根据题意，数列{a_n}的各项均为正数，
所以，a_n+1=sina_n＜a_n，
即a_n+1＜a_n恒成立，所以数列{a_n}单调递减，
故答案为：A．

点评本题主要考查了数列的单调性，以及导数在研究函数性质中的应用，属于中档题．