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2023年江西省高二年级联合调研考试（5月）数学试卷答案

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12．观察式子：
cos$\frac{2}{3}$π=-$\frac{1}{2}$；
cos$\frac{2}{5}$π+cos$\frac{4}{5}$π=-$\frac{1}{2}$；
cos$\frac{2}{7}$π+cos$\frac{4}{7}$π+cos$\frac{6}{7}$π=-$\frac{1}{2}$；
按此规律猜想第五个的等式为cos$\frac{2}{11}$π+cos$\frac{4}{11}$π+cos$\frac{6}{11}$π+cos$\frac{8}{11}$π+cos$\frac{10}{11}$π=-$\frac{1}{2}$．

分析设比数列{a_n}的公比为q，可知q≠1．由a₁=30，8S₆=9S₃，可得$\frac{8×30（{q}^{6}-1）}{q-1}$=$\frac{9×30（{q}^{3}-1）}{q-1}$．解得q．由T_n=a₁a₂a₃…a_n，可得$\frac{{T}_{n+1}}{{T}_{n}}$=a_n=$30×（\frac{1}{2}）^{n-1}$，对n分类讨论，利用单调性即可得出．

解答解：设比数列{a_n}的公比为q，可知q≠1．
∵a₁=30，8S₆=9S₃，∴$\frac{8×30（{q}^{6}-1）}{q-1}$=$\frac{9×30（{q}^{3}-1）}{q-1}$．
化为8（q³+1）=9，
解得q=$\frac{1}{2}$．
∵T_n=a₁a₂a₃…a_n，
∴$\frac{{T}_{n+1}}{{T}_{n}}$=a_n=$30×（\frac{1}{2}）^{n-1}$，
当n≤5时，$\frac{{T}_{n+1}}{{T}_{n}}$＞1，数列{T_n}单调递增；当n≥6时，$\frac{{T}_{n+1}}{{T}_{n}}$＜1，数列{T_n}单调递减．
∴当n=6时，T_n取得最大值．
故选：D．

点评本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、分类讨论方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．