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2023年山东省高三年级5月联考数学试卷答案

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4．椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1上一动点P，圆E：（x-1）²+y²=1，过圆心E任意作一条直线与圆E交于A，B两点，圆F：（x+1）²+y²=1，过圆心F任意作一条直线与圆F交于C，D两点，则$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PD}$最小值（　　）

分析以三角形外心为坐标原点建立坐标系，设外接圆圆心为1，则ABC均在单位圆上，不妨设C（1，0），利用A=$\frac{π}{3}$解出B点坐标，设出A（cosθ，sinθ），则由$\overrightarrow{OA}$=x$\overrightarrow{OB}$+y$\overrightarrow{OC}$得出关于x，y和θ的关系，解出x，y，根据θ的范围得出关于2x-y的范围．

解答解：设△ABC的外接圆半径为1，以△ABC的外心O为坐标原点，以OC所在直线为x轴建立坐标系，如图：
则C（1，0），设A（cosθ，sinθ），∵A=$\frac{π}{3}$，∴∠BOC=$\frac{2π}{3}$，∴B（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
∴$\overrightarrow{OA}$=（cosθ，sinθ），$\overrightarrow{OB}$=（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{OC}$=（1，0）．
∵$\overrightarrow{OA}$=x$\overrightarrow{OB}$+y$\overrightarrow{OC}$，∴（cosθ，sinθ）=（-$\frac{x}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}x}{2}$）+（y，0）=（-$\frac{x}{2}+y$，-$\frac{\sqrt{3}x}{2}$）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{cosθ=-\frac{x}{2}+y}\\{sinθ=-\frac{\sqrt{3}x}{2}}\end{array}\right.$，解得x=-$\frac{2sinθ}{\sqrt{3}}$，y=cosθ-$\frac{sinθ}{\sqrt{3}}$，
∴2x-y=-$\frac{4sinθ}{\sqrt{3}}$+$\frac{sinθ}{\sqrt{3}}$-cosθ=-$\sqrt{3}$sinθ-cosθ=-2sin（θ+$\frac{π}{6}$）
∵△ABC是锐角三角形，∴$\frac{π}{3}$＜θ＜π，∴$\frac{π}{2}$＜θ$+\frac{π}{6}$＜$\frac{7π}{6}$．
∴当θ$+\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$时，2x-y取得最小值-2，
当θ$+\frac{π}{6}$=$\frac{7π}{6}$时，2x-y取得最大值1．
故2x-y的值域是（-2，1）．
故答案为（-2，1）．

点评本题考查了平面向量在几何中的应用，根据题目作出符合条件的图形是关键．