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金考卷·2023年普通高招全国统一考试临考预测押题密卷(新)数学试卷答案

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11．设函数y=lnx与y=ax²-a的图象有公共点．且在公共点处有共同的切线．则a的值为（　　）

分析（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x），再根据正弦函数的单调性求出f（x）的单调增区间；
（2）利用x的取值范围求出$\frac{π}{4}$x-$\frac{π}{3}$的取值范围，从而得出sin（$\frac{π}{4}$x-$\frac{π}{3}$）的取值范围，即是f（x）的值域．

解答解：（1）函数f（x）=sin（$\frac{π}{4}$x-$\frac{π}{6}$）-cos$\frac{π}{4}$x
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin$\frac{π}{4}$x-$\frac{3}{2}$cos$\frac{π}{4}$x
=$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{4}$x-$\frac{π}{3}$），…4分
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤$\frac{π}{4}$x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z；
则-$\frac{2}{3}$+8k≤x≤$\frac{10}{3}$+8k，k∈Z；
∴函数f（x）的单调增区间为：[-$\frac{2}{3}$+8k，$\frac{10}{3}$+8k]，k∈Z；…7分
（2）当x∈（0，4）时，0＜x＜4，
∴0＜$\frac{π}{4}$x＜π，
∴-$\frac{π}{3}$＜$\frac{π}{4}$x-$\frac{π}{3}$＜$\frac{2π}{3}$，
∴-$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜sin（$\frac{π}{4}$x-$\frac{π}{3}$）≤1；
即函数f（x）的值域为：（-$\frac{3}{2}$，$\sqrt{3}$]．…14分．

点评本题考查了三角函数的恒等变换与三角函数的图象和性质的应用问题，是基础题目．