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江淮十校2023届高三联考(2023.5)数学试卷答案

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18．已知一长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为3，$\sqrt{11}$，4，若该长方体的顶点都在一 个球的球面上，则这个球的体积为（　　）

分析（1）当a=1时，P：{x|1＜x＜3}，而q：{x|2＜x≤3}，由此利用p∧q为真，能求出实数x的取值范围．
（2）若?p是?q的充分不必要条件，表明q是p的充分不必要条件，由此能求出实数a的取值范围．

解答（本题满分12分）
解：（1）当a＞0时，{x|x2-4ax+3a2＜0}
={x|（x-3a）（x-a）＜0}={x|a＜x＜3a}，
如果a=1时，命题p：{x|x²-4x+3＜0}，即：P：{x|1＜x＜3}，而q：{x|2＜x≤3}，
因为p∧q为真，所以有{x|1＜x＜3}∩{x|2＜x≤3}={x|2＜x＜3}．
故实数x的取值范围是{x|2＜x≤3}．
（2）若?p是?q的充分不必要条件，表明q是p的充分不必要条件．
由（1）知，{x|2＜x≤3}是{x|a＜x＜3a}（a＞0）的真子集，
由题意得a≤2且3＜3a，解得{a|1＜a≤2}．
故实数a的取值范围是{a|1＜a≤2}．

点评本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件及复合命题真假判断的合理运用．