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2023年安徽省中考冲刺卷(二)数学试卷答案

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17．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x-4y=0交椭圆E于A，B两点，若|AF|十|BF|=4，点M到直线l的距离不小于$\frac{4}{5}$，则椭圆E的离心率的取值范围是（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]．

分析先分别出曲线C₁、C₂的普通方程，再联立方程组，求出曲线C₁，C₂的交点的直角坐标，由此能求出曲线C₁，C₂的交点的极坐标．

解答解：∵曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{5}cosθ\\y=\sqrt{5}sinθ\end{array}\right.$（θ为参数），
∴由cos²θ+sin²θ=1，得曲线C₁的普通方程为x²+y²=5，
∵曲C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{5}-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\y=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数），
∴曲C₂的普通方程为x-y-$\sqrt{5}$=0，
联立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=5}\\{x-y-\sqrt{5}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-\sqrt{5}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{5}}\\{y=0}\end{array}\right.$，
当$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-\sqrt{5}}\end{array}\right.$时，ρ=5，$θ=\frac{3π}{2}$，
当$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{5}}\\{y=0}\end{array}\right.$时，ρ=5，θ=0．
∴曲线C₁，C₂的交点的极坐标为（5，$\frac{3π}{2}$）或（5，0）．
故答案为：（5，$\frac{3π}{2}$）或（5，0）．

点评本题考查曲线交点的极坐标的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意曲线的参数方程和普通方程的互化公式的合理运用．