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2023年邵阳三模高三5月联考数学试卷答案

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13．已知函数$f（x）=4{sin^2}（\frac{π}{4}+x）-2\sqrt{3}cos2x-1$，且$\frac{π}{4}≤x≤\frac{π}{2}$．
（1）求f（x）的最大值及最小值；
（2）若条件$p：f（x）=4{sin^2}（\frac{π}{4}+x）-2\sqrt{3}cos2x-1，\frac{π}{4}≤x≤\frac{π}{2}$；条件q：|f（x）-m|＜2，且p是q的充分条件，求实数m的取值范围．

分析（1）化简函数f（x），根据x的取值范围求出f（x）的最值；
（2）由题意求出C的值，再利用向量$\overrightarrow{m}$与$\overrightarrow{n}$共线，以及正弦、余弦定理列方程组，求出a、b的值．

解答解：（1）函数f（x）=2cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx
=2•$\frac{1+cos2x}{2}$+$\sqrt{3}$•sin2x
=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x+1
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
由0≤x≤$\frac{π}{2}$，得$\frac{π}{6}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{7π}{6}$；
所以-$\frac{1}{2}$≤sin（2x+$\frac{π}{6}$）≤1，
所以函数f（x）在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值是f（x）_max=3，
最小值是f（x）_min=0；
（2）由$f（C）=2sin（2C+\frac{π}{6}）+1=2$，得$sin（2C+\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$；
而C∈（0，π），所以$2C+\frac{π}{6}∈（{\frac{π}{6}，\frac{13π}{6}}）$，
所以$2C+\frac{π}{6}=\frac{5}{6}π$，
解得$C=\frac{π}{3}$；
因为向量$\overrightarrow{m}$与向量$\overrightarrow{n}$共线，所以$\frac{sinA}{sinB}=\frac{1}{2}$；
由正弦定理得：$\frac{sinA}{sinB}$=$\frac{a}{b}$=$\frac{1}{2}$①，
由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC，即a²+b²-ab=9②；
由①②解得$a=\sqrt{3}，b=2\sqrt{3}$．

点评本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了正弦、余弦定理的应用问题，考查了平面向量的应用问题，是综合性题目．