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青桐鸣高考冲刺 2023年普通高等学校招生全国统一考试押题卷(四)数学试卷答案

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19．正六棱柱ABCDEF-A₁B₁C₁D₁E₁F₁的侧面都是正方形，若底面边长为a，则截面A₁DD₁的面积为（　　）

分析根据几何体的特征，判定外接球的球心，求出球的半径，即可求出球的表面积．

解答解：根据题意知，△ABC是一个直角三角形，其面积为1．其所在球的小圆的圆心在斜边AC的中点上，设小圆的圆心为Q，
若四面体ABCD的体积的最大值，由于底面积S_△ABC不变，高最大时体积最大，
所以，DQ与面ABC垂直时体积最大，最大值为$\frac{1}{3}$S_△ABC×DQ=$\frac{2}{3}$，
即$\frac{1}{3}$×1×DQ=$\frac{2}{3}$，∴DQ=2，如图．
设球心为O，半径为R，则在直角△AQO中，
OA²=AQ²+OQ²，即R²=1²+（2-R）²，∴R=$\frac{5}{4}$
则这个球的表面积为：S=4π（$\frac{5}{4}$）²=$\frac{25π}{4}$
故选：B．

点评本题考查的知识点是球内接多面体，球的表面积，其中分析出何时四面体ABCD的体积的最大值，是解答的关键．