青桐鸣高考冲刺 2023年普通高等学校招生全国统一考试押题卷(四)数学试题答案 (更新中)

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试题答案

青桐鸣高考冲刺 2023年普通高等学校招生全国统一考试押题卷(四)数学试卷答案

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19.正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的侧面都是正方形,若底面边长为a,则截面A1DD1的面积为(  )

A.$\sqrt{3}$a2B.2a2C.$\frac{3}{2}$a2D.$\frac{\sqrt{3}}{2}$a2

分析根据几何体的特征,判定外接球的球心,求出球的半径,即可求出球的表面积.

解答解:根据题意知,△ABC是一个直角三角形,其面积为1.其所在球的小圆的圆心在斜边AC的中点上,设小圆的圆心为Q,
若四面体ABCD的体积的最大值,由于底面积S△ABC不变,高最大时体积最大,
所以,DQ与面ABC垂直时体积最大,最大值为$\frac{1}{3}$S△ABC×DQ=$\frac{2}{3}$,
即$\frac{1}{3}$×1×DQ=$\frac{2}{3}$,∴DQ=2,如图.
设球心为O,半径为R,则在直角△AQO中,
OA2=AQ2+OQ2,即R2=12+(2-R)2,∴R=$\frac{5}{4}$
则这个球的表面积为:S=4π($\frac{5}{4}$)2=$\frac{25π}{4}$
故选:B.

点评本题考查的知识点是球内接多面体,球的表面积,其中分析出何时四面体ABCD的体积的最大值,是解答的关键.

青桐鸣高考冲刺 2023年普通高等学校招生全国统一考试押题卷(四)数学
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