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青桐鸣高考冲刺 2023年普通高等学校招生全国统一考试押题卷(三)数学试卷答案

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20．已知实数a、b、c满足a+b=ab=c，有下列结论：①若c≠0，则$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=1；②若a=3，则b+c=9；③若a=b=c，则abc=0；④若a、b、c中只有两个数相等，则a+b+c=8．其中正确的是①③④．

分析p₁：利用平方关系可知正确；
p₂：取x=0，y=$\frac{π}{3}$，即可判断出正误．
p₃：利用倍角公式可得$\sqrt{\frac{1-cos2x}{2}}$=|sinx|；
p₄：由tanx=cosx，化为sinx=cos²x=1-sin²x，即sin²x+sinx-1=0，解出即可判断出正误．

解答解：p₁：?x∈R，利用平方关系可知：sin²$\frac{x}{2}$+cos²$\frac{x}{2}$=1，正确；
p₂：?x、y∈R，cos（x-y）=cosx-cosy，取x=0，y=$\frac{π}{3}$，可知正确．
p₃：?x∈[0，π]，sinx≥0，∴$\sqrt{\frac{1-cos2x}{2}}$=$\sqrt{si{n}^{2}x}$=|sinx|=sinx，因此正确；
p₄：假设：?x∈R，tanx=cosx，则sinx=cos²x=1-sin²x，化为sin²x+sinx-1=0，解得sinx=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$∈（0，1），因此x存在，因此假设正确．
综上可得：四个命题都正确．
故选：A．

点评本题考查了简易逻辑的判定方法、三角函数的化简、同角三角函数基本关系式、倍角公式等，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．