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2023届衡水金卷先享题压轴卷(二)湖南专版数学试卷答案

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3．任意作一个向量$\overrightarrow{a}$，请画出向量$\overrightarrow{b}$=-2$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$．

分析如图所示，A（0，0），B（$4\sqrt{7}$，0）．设C（x，y），$\overrightarrow{BC}$=$（x-4\sqrt{7}，y）$，利用|$\overrightarrow{BC}$|=4=$\sqrt{（x-4\sqrt{7}）^{2}+{y}^{2}}$，可得${y}^{2}=16-（x-4\sqrt{7}）^{2}$．由于$\overrightarrow{CP}$=3$\overrightarrow{PD}$，$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}$=$（-4\sqrt{7}，0）$．可得$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CP}$，$\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AB}$．可得$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BP}$=-12=$（x-3\sqrt{7}）（x-7\sqrt{7}）$+y²．于是联立可得x．进而得出．

解答解：如图所示，
A（0，0），B（$4\sqrt{7}$，0）．
设C（x，y），$\overrightarrow{BC}$=$（x-4\sqrt{7}，y）$，
∴|$\overrightarrow{BC}$|=4=$\sqrt{（x-4\sqrt{7}）^{2}+{y}^{2}}$，化为${y}^{2}=16-（x-4\sqrt{7}）^{2}$．
∵$\overrightarrow{CP}$=3$\overrightarrow{PD}$，$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}$=$（-4\sqrt{7}，0）$．
∴$\overrightarrow{CP}$=$\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}$=$（-3\sqrt{7}，0）$．
∴$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CP}$=$（x-3\sqrt{7}，y）$．
$\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AB}$=$（x-7\sqrt{7}，y）$．
∴$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BP}$=-12=$（x-3\sqrt{7}）（x-7\sqrt{7}）$+y²．（*）
把${y}^{2}=16-（x-4\sqrt{7}）^{2}$代入上式化简可得：
x=$\frac{9\sqrt{7}}{2}$．
∵CD∥AB，
∴$\frac{AQ}{QC}=\frac{AB}{PC}=\frac{4}{3}$．
∴$\overrightarrow{AQ}$=$\frac{4}{7}\overrightarrow{AC}$=$\frac{4}{7}$（x，y）．
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AQ}$=$\frac{16\sqrt{7}}{7}$x=$\frac{16\sqrt{7}}{7}×\frac{9\sqrt{7}}{2}$=72．
故选：C．

点评本题考查了平行四边形的性质、向量共线定理、数量积运算性质、方程的解法、向量三角形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．