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2023年陕西省初中学业水平考试（B版）数学试卷答案

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5．已知函数$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{{2^x}，x≤0}\\{{{log}_2}x，x＞0}\end{array}}\right.$
（1）在所给的平面直角坐标系中画出函数f（x）的图象；
（2）利用图象求f（x）=$\frac{1}{2}$时x的值；
（3）当0＜f（x）＜$\frac{1}{2}$时，求x的取值范围．

分析（Ⅰ）当p=2时，a_n+1-2a_n=qa_n-2qa_n-1=q（a_n-2a_n-1），（n≥2，q≠0），由此能证明{b_n}是等比数列．
（Ⅱ）由已知得c_n=a_n+1-qa_n=pa_n-pqa_n-1，得c_n+1=pa_n+1-pqa_n=pc_n，由数列{c_n}为常数列，能推导出p=1；当p=1时，c_n=a_n+1-qa_n=a_n-qa_n-1=c_n-1，从而得到数列{c_n}为常数列．由此能证明“数列{c_n}为常数列”的充要条件是“p=1”．

解答证明：（Ⅰ）当p=2时，在数列{a_n}中，
a₁=1，a₂=3，且a_n+1=（2+q）a_n-2qa_n-1（n≥2，q≠0），
∴a_n+1-2a_n=qa_n-2qa_n-1=q（a_n-2a_n-1），（n≥2，q≠0），
a₂-2a₁=3-2×1=1，
b_n=a_n+1-2a_n（n∈N^*），
∴{b_n}是首项为1，公比为q的等比数列．
（Ⅱ）∵a₁=1，a₂=3，且a_n+1=（p+q）a_n-pqa_n-1（n≥2，q≠0），
∴c_n=a_n+1-qa_n=pa_n-pqa_n-1=p（a_n-qa_n-1）=pa_n-pqa_n-1，（n≥2，q≠0），
∴c_n+1=pa_n+1-pqa_n=p（c_n+qa_n）-pqa_n=pc_n，
∴由数列{c_n}为常数列，得p=1；
当p=1时，a₁=1，a₂=3，且a_n+1=（1+q）a_n-qa_n-1（n≥2，q≠0）．
c_n=a_n+1-qa_n=a_n-qa_n-1=c_n-1，
∴数列{c_n}为常数列．
∴“数列{c_n}为常数列”的充要条件是“p=1”．

点评本题考查等比数列的证明，考查数列为常数列的充要条件的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．