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佩佩教育·2023年普通高校统一招生考试 湖南四大名校名师团队猜题卷数学试卷答案

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16．函数f（x）同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有f（x）+f（-x）=0；②对于定义域上的任意x₁，x₂．当x₁≠x₂时，恒有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0．则称函数f（x）为“理想函数”，则下列四个函数中：①f（x）=$\frac{1}{2}$；②f（x）=x²；③f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}，x≥0}\\{{x}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$；④f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x）可以称为“理想函数”的有2个．

分析（1）利用两角和的余弦展开，两边同时乘以ρ后代入ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ得答案；
（2）化直线的参数方程为普通方程，画出图形，数形结合求得满足条件的实数m的取值范围．

解答解：（1）由ρ=4$\sqrt{2}$cos（θ+$\frac{π}{4}$），得$ρ=4\sqrt{2}（cosθcos\frac{π}{4}-sinθsin\frac{π}{4}）$=4cosθ-4sinθ，
∴ρ²=4ρ（cosθ-sinθ），即x²+y²-4x+4y=0．
化为标准方程：（x-2）²+（y+2）²=8．
∴曲线C是以（2，-2）为圆心，以$2\sqrt{2}$为半径的圆；
（2）化直线l的方程$\left\{\begin{array}{l}{x=m+t}\\{y=t}\end{array}\right.$为x-y-m=0．
若曲线C上存在点P到直线l的距离为2$\sqrt{2}$，
由图可知，OA=6$\sqrt{2}$，OB=$2\sqrt{2}$，
∴直线x-y-m=0在y轴上截距的范围为[-12，4]，
即-m∈[-12，4]，
∴m∈[-4，12]．

点评本题考查极坐标方程化直角坐标方程，参数方程化普通方程，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．