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炎德英才大联考 湖南师大附中2023届模拟试卷(二)数学试卷答案

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14．设满足以下两个条件的有穷数列a₁，a₂，…，a_n为n（n=2，3，4，…，）阶“期待数列”：
①a₁+a₂+a₃+…+a_n=0；
②|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=1．
（1）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；
（2）若某2013阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式；
（3）记n阶“期待数列”的前k项和为S_k（k=1，2，3，…，n），试证：|S_k|≤$\frac{1}{2}$．

分析直接联立方程组求解两交点坐标，利用弦心距、弦长、圆的半径间的关系求得两交点间的距离．

解答解：联立$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=25}\end{array}\right.$，得2x²+4x-21=0，解得${x}_{1}=\frac{-2-\sqrt{46}}{2}，{x}_{2}=\frac{-2+\sqrt{46}}{2}$．
当${x}_{1}=\frac{-2-\sqrt{46}}{2}$时，${y}_{1}=\frac{2-\sqrt{46}}{2}$；
当${x}_{2}=\frac{-2+\sqrt{46}}{2}$时，${y}_{2}=\frac{6-\sqrt{46}}{2}$．
∴直线x-y+2=0与x²+y²=25的两个交点的坐标为（$\frac{-2-\sqrt{46}}{2}，\frac{2-\sqrt{46}}{2}$），（$\frac{-2+\sqrt{46}}{2}，\frac{6-\sqrt{46}}{2}$）；
∵圆x²+y²=25的圆心（0，0）到直线x-y+2=0距离为d=$\frac{|2|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，
圆的半径r=5，
∴圆x²+y²=25被直线x-y+2=0所截半弦长为$\sqrt{{5}^{2}-（\sqrt{2}）^{2}}=\sqrt{23}$，
则直线x-y+2=0与x²+y²=25的两个交点之间的距离为$2\sqrt{23}$．

点评本题考查直线与圆的位置关系，训练了方程组的解法，训练了求解直线被圆所截弦长的方法，是中档题．