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智慧上进·2023年高一年级下学期期中调研测试数学试卷答案

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10．已知点A（1，3），而且F₁是椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1的左焦点，P是椭圆上任意一点，求|PA|-|PF₁|的最小值．

分析由正弦定理可求得sinC的值，结合C的范围可得C=60°或120°．分类讨论可求A的值，及相应的a的值．

解答解：由正弦定理$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$，…（1分）
得sinC=$\frac{csinB}{b}$=$\frac{\sqrt{3}×sin30°}{1}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，…（3分）
∵c＞b，C＞B．
∴C=60°或120°．…（4分）
当C=60°时，A=90°，a${\;}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}={1}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}=4$，则a=2，…（8分）
当C=120°时，A=30°，a²=b²+c²-2bccosA=1，则a=1…（12分）
或∵A=B=30°，则a=b=1．

点评本题主要考查了正弦定理，余弦定理，勾股定理，三角形内角和定理的综合应用，考查了分类讨论思想和计算能力，属于中档题．