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（江西二模）江西省2023年初中学业水平模拟考试数学试卷答案

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18．定义在R上的函数f（x）满足：f（2）=1，且对于任意的x∈R，都有$f'（x）＜\frac{1}{10}$，则不等式$f（{x^2}）＞\frac{{{x^2}+8}}{10}$的解集为（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）．

分析（Ⅰ）化简可得$f（x）=\sqrt{3}sinxcosx+{sin^2}x+sin（{2x-\frac{π}{6}}）$=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，从而确定周期；
（Ⅱ）由$x∈（{0，\frac{π}{2}}）$可得-$\frac{1}{2}$＜2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$≤$\frac{5}{2}$．

解答解：（Ⅰ）$f（x）=\sqrt{3}sinxcosx+{sin^2}x+sin（{2x-\frac{π}{6}}）$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1-cos2x}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x
=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x+$\frac{1}{2}$
=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
故函数f（x）的最小正周期为π；
（Ⅱ）∵$x∈（{0，\frac{π}{2}}）$，
∴-$\frac{π}{6}$＜2x-$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，
∴-$\frac{1}{2}$＜sin（2x-$\frac{π}{6}$）≤1，
∴-1＜2sin（2x-$\frac{π}{6}$）≤2，
∴-$\frac{1}{2}$＜2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$≤$\frac{5}{2}$，
故函数f（x）的值域为（-$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$]．

点评本题考查了三角函数的恒等变换的应用及函数的性质的判断与应用．